Análisis Armónico y Ecuaciones Diferenciales Dispersivas

Carlos Kenig


Carlos Kenig: Math. Dept, University of Chicago, Chicago, Il. 60637, USA

cek@math.uchicago.edu


El análisis armónico y las ecuaciones en derivadas parciales han estado entrelazados desde sus comienzos, en la obra de Joseph Fourier (1768-1830). En su famoso estudio de la teoría matemática de conducción del calor (1807), Fourier dedujo una ecuación (la ecuación del calor) para describir el flujo de calor en una barra unidimensional, a partir de la ``Ley de enfriamiento de Newton" (el flujo de calor a través de un punto es proporcional al gradiente temperatura en ese punto). La ecuación es $ \partial_{t}u = \partial^{2}_{x}u$, y Fourier resolvió el ``problema a valores iniciales" (PVI) para esta ecuación, es decir dada la temperatura inicial de una barra finita, cuyos extremos son mantenidos a temperatura constante, Fourier calculó la temperatura en el futuro, en cualquier punto de la barra. En el curso del cálculo de la solución, Fourier hizo una afirmación, que ha motivado el estudio del Análisis Armónico desde ese momento. La afirmación de Fourier fue la siguiente: Cualquier función $ f$, definida en [-$ \pi$, $ \pi$], sin importar cuán caprichoso sea su gráfico, puede ser representada como una suma infinita de funciones trigonométricas:

$\displaystyle f(x) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} C_{n} e^{inx}$

Más aún, Fourier dio una receta para calcular $ C_{n}$:

$\displaystyle C_{n} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{-inx} f(x) \frac{dx}{2\pi}$

Esta afirmación fue muy controvertida, porque $ \{e^{inx}\}$ son funciones ``buenas", y entonces cómo puede ser posible que funciones ``malas" puedan ser representadas por su suma. Todaví a hoy se sigue estudiando esta cuestión. Aún cuando la afirmación de Fourier es falsa para todas las funciones y todos los puntos $ x$, el método de Fourier funcionó, y rápidamente tuvo un número de importantes aplicaciones. Por ejemplo: El cálculo de la temperatura de la tierra. La predicción de las mareas (Kelvin). El ``analista armónico" (una máquina). El cable transatlántico (Kelvin). El cálculo de la edad de la tierra, etc.. Cuando se estudia el flujo de calor en una barra infinita (Fourier 1822) uno es llevado a estudiar representaciones análogas para funciones, como integrales, de la forma

$\displaystyle (*) \qquad f(x) = \int e^{ix\xi} C(\xi) d\xi,$

donde la fórmula de $ C(\xi)$ debe ser

$\displaystyle (**)\qquad C(\xi) = \int e^{-iy\xi} f(y) dy = \hat{f}(\xi)$

El hecho que (*) es cierta para muchas funciones, en sentidos apropiados, ha sido instrumental en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales lineales (de las cuales la ecuación del calor es un ejemplo), en los últimos 100 años. La idea básica de Fourier para el (PVI) para la ecuación del calor es que, si lo resolvemos para $ f(x)=e^{ix.\xi}$, para cada $ \xi$, (*) y linealidad nos dan la solución general. Esto se extiende a dimensiones mayores $ (x \in \mathbb{R}^{n}$), y ha sido instrumental en el desarrollo espectacular de las ecuaciones lineales en derivadas parciales, en el siglo 20. Volviendo a (*), (**) una posible manera de darle significado es preguntarse si (o cuándo) se tiene

$\displaystyle (\dag ) \quad f(x) = \lim_{R \rightarrow \infty} \int_{\vert\xi\v... ...ghtarrow \infty} \int e^{ix \cdot \xi}\chi (\frac{\xi} {R}) \hat f (\xi)d \xi,$

donde

$\displaystyle \chi(a) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{si\quad $\vert a\vert\leq 1$},\\ 0 & \mbox{si \quad $\vert a\vert> 1$} \end{array} \right. $

Observen que $ \chi (0) = 1$. Una conjetura famosa del matemático ruso Lusin $ (\sim 1915)$ era que $ (\dag )$ es cierta para toda

$\displaystyle f\in L^{^{2}}(\mathbb{R}),i.e, \quad \int^{+ \infty}_{- \infty} \vert f(x)\vert^{2} dx < \infty$

y casi todo $ x$, (en el sentido de la medida de Lebesgue). Esta conjetura, para $ n=1,$ fue probada por L. Carleson en 1966, quien lo hizo de mostrando la siguiente desigualdad:

$\displaystyle (\dag\dag )\quad \vert\vert sup_{_{R>0}} \; \vert\int_{_{\vert\xi... ...ert\vert _{_{L^2(\mathbb{R})}} \leq C \vert\vert f\vert\vert _{L^2(\mathbb{R})}$

La necesidad de una estimación del tipo (**) para la validez de la conjetura de Lusin había sido establecida previamente, por A. P. Calderón. Ahora nos vamos a concentrar en una familia de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, para las cuales se ha usado, con mucho éxito las ideas del análisis armónico. Estas son las llamadas ``ecuaciones dispersivas no-lineales'', que aparecen como modelos en algunos problemas de propagación de ondas. El ejemplo en el que me voy a enfocar es la familia de (PVI):

$\displaystyle (KdV)_k \left\{\begin{array}{ll} \partial_t u + \partial_{x}^3 u... ...bb{R}, \; t \in \mathbb{R}$},\\ u\vert _{_{t=0}} = f \end{array} \right. $

El caso $ k=1,$ usualmente llamado KdV aparece en el estudio de la propagación de olas en canales poco profundos. El caso $ k=2$ (usualmente llamado mKdV) es importante porque muchos modelos hiperbólicos se reducen a mKdV. Estos dos casos también son de particular importancia porque el método de ``inverse scattering" se les aplica, para obtener soluciones. Hablaremos más de esto luego. Hemos decidido ilustrar las ideas concentrándonos en mKdV, el caso $ k=2.$ Debemos primero desarrollar terminología, inspirada por la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Consideremos un problema a valores iniciales (PVI)

$\displaystyle (PVI) \left\{\begin{array}{ll} \partial_t u+A(u)=0 & \mbox{ si $... ...athbb{R}$},\\ u \Vert _{_{t=0}} = f & \mbox{$\in B$} \end{array} \right. $

donde $ B$ es un espacio funcional, y $ A$ es un operador diferencial (posiblemente no lineal) en las variables espaciales $ x$, actuando (apropiadamente) sobre funciones en $ B$. Para mKdV, $ A(u) = \partial ^3_x u + u²\partial_x u$. Decimos que el $ (PVI)$ está globalmente bien propuesto en $ B$ (gbp), si dada $ f \in B$, existe una única $ u \in C((- \infty, + \infty); B)$, que resuelva $ (PVI)$ (en un sentido adecuado) y tal que la aplicación $ f \longrightarrow u$ es continua. Si esto se satisface con el intervalo de tiempo $ (- \infty, + \infty)$ reemplazado por el $ (-T, T), \; T< \infty,$ decimos que $ (PVI)$ está localmente bien propuesto en $ B$ (lbp). Aquí estamos considerando intervalos de tiempo que son simétricos alrededor de $ t=0$, porque los problemas que estamos considerando son reversibles en tiempo. Para mKdV, $ u(x,t)$ es solución si y sólo si $ - u(-x,-t)$ es solución. Esto, por supuesto no es cierto para la ecuación del calor que discutimos antes, y uno toma entonces intervalos de la forma $ (0,T)$. Dado un $ (PVI)$, una de las preguntas más básicas es ¿Para cuáles espacios $ B$ tenemos (lbp), (gbp)?. Aquí nos limitaremos a considerar la escala de espacios de Sobolev $ H^s (\mathbb{R}),\; - \infty < s < + \infty,$ de funciones que tienen $ s$ derivadas en $ L^2 (\mathbb{R})$. Rigurosamente:

$\displaystyle H^s (\mathbb{R}) = \{f: \int \Vert \hat f(\xi)\Vert^2 (1 + \vert\xi)^{2s}d\xi < \infty \}$

Esto se justifica porque $ \widehat{(\partial x f)} (\xi) = i \xi \hat f (\xi)$. Nuestra pregunta entonces es: ¿Para cuáles $ s$ es mKdV $ (lbp), (gbp)$ en $ H^s (\mathbb{R})$? Observen que, para un problema de evolución lineal, a coeficientes constantes, esto es cuando

$\displaystyle A(u) = \sum_{\vert\alpha\vert \leq N} a_\alpha \partial ^{\alpha}_x u, \qquad a_{\alpha} \in {\mathbb{R}},$

la pregunta no tiene interés, ya que $ \partial^s_x A(u) = A(\partial^s_x u)$, y por eso el correspondiente $ (PVI)$ está (lbp) para un $ H^{s_0}$ sí y solo sí lo está para todo $ H^s$. Vemos, de esta manera, que la pregunta está relacionada con la interacción entre las partes lineales y no lineales de $ A(u)$. Para mKdV, estas son $ \partial^3_x u$ y $ u^2 \partial_{x} u$, respectivamente. Para explicar cómo el análisis armónico juega un papel en entender esta pregunta, volvamos al teorema de Carleson, que dice que, para toda $ f \in L^2(\mathbb{R})$, y casi todo $ x$, tenemos

$ f(x) = \lim_{R\to \infty} \int_{\vert\xi\vert<R} e^{ix \xi} \hat f (\xi) d \xi$ $ \qquad = \lim_{R\to\infty} \int e^{ix\xi} \chi(\xi/R) \hat f(\xi) d \xi$ $ \qquad = \lim_ {t \downarrow 0} \int e^{ix\xi} \chi(t\xi) \hat f (\xi) d\xi$,

y recordando que $ \chi (0) = 1$, vemos que esto nos da la 'inversión de Fourier'. En los años 70, en conexión con sus trabajos en mecánica estadística, Carleson se vio forzado a considerar preguntas análogas, cuando $ \chi(\xi)$ es `oscilatoria'. Un ejemplo es el caso $ \chi(t \xi) = e^{it{\xi}^3}$, y la pregunta de Carleson, en este caso es: ¿Tenemos, para $ f \in L^2 ({\mathbb{R}})$

$ \lim_{t\downarrow 0} \int e^{ix\xi} e^{it{\xi}^3} \hat f (\xi) d\xi = f(x) \quad (pp x)$?

Carleson mostró que la respuesta es NO, pero que si $ f$ tiene ``un poco" más de regularidad, (precisamente cuando $ f$ tiene 1/4 de derivada en $ L^2 {(\mathbb{R})}$), o más formalmente, cuando $ f \in H^{1/4}(\mathbb{R})$, la respuesta es SI. Luego, B. Dahlberg y yo nos interesamos en esta pregunta, y demostramos (1979), que para $ f\in H^s {(\mathbb{R})},\; s < 1/4$, en general la respuesta es NO, es decir el resultado de Carleson es óptimo. ¿Cuál es la relación entre éste y el problema $ (PVI)$ para mKdV?

$\displaystyle (mKdV) \left\{\begin{array}{ll} \partial_t u + \partial^3_x u + u^2 \partial_x u =0,\\ u\vert _{_{t=0}}= f \end{array} \right. $

Como lo mencionamos antes, la pregunta sobre (lbp), (gbp) tiene que ver con la interacción entre $ \partial^3_x u$ (parte lineal) y $ u^2 \partial_x u$ (parte nolineal). Por eso, es natural considerar la ecuación de Airy (Stokes):

$\displaystyle (A) \left\{\begin{array}{ll} \partial_t u + \partial^3_x u = 0,\\ u \vert _{t=0} =f. \end{array} \right. $

Como $ (A)$ es un problema lineal, a coeficientes constantes, el método de Fourier se aplica, y se ve que

$\displaystyle u(x,t) = \int e^{ix\xi} e^{it{\xi}^3} \hat f (\xi) d\xi,$

lo que revela la conexión con el problema de Carleson. Sin embargo, noten que $ (A)$ es (lbp),(gbp) en $ H^s {(\mathbb{R})}$ para todo $ s$, porque es lineal, a coeficientes constantes, y el ``operador solución"

$\displaystyle S(t) f = \int e^{ix\xi} e^{it{\xi}^3} \hat f (\xi) d \xi)$

forma un grupo de isometrías en $ L^2 {(\mathbb{R})}$, ya que, debido al teorema de Plancherel,

$\displaystyle \Vert f \Vert _{L^2} = \Vert\hat f \Vert _{L^2}.$

La importancia del problema de Carleson, reside en la desigualdad

$\displaystyle (\sharp)\quad \Vert\sup_{t \in \mathbb{R}} \vert S(t) f \vert \; \Vert _{_{L^4(\mathbb{R})}} \geq C \Vert f\Vert _{_{H^{1/4}}} {(\mathbb{R})}$

que lo implica. Esta forma fuerte y óptima de ($ \sharp$) la obtuvimos en un trabajo conjunto con A. Ruiz, en 1983. ¿Cómo podemos usar $ (A)$ para resolver mKdV?. La respuesta viene dada por el principio de Duhamel (método de variación de las constantes en ecuaciones ordinarias). Este dice: $ u$ resuelve mKdV si y sólo si

$\displaystyle (\aleph)\quad u(t) = S(t) f + \int_{0}^t S(t-t')(u^2 \partial_x u)(t') dt' .$

Esta es, por supuesto, una fórmula implícita. Por eso, para resolver mKdV con $ f \in H^{s_{_0}}$, uno encuentra un espacio de funciones adecuado, en el cual el lado derecho de $ (\aleph)$ es una contracción, para $ f \in H^{s_0}$, y por eso tiene un único punto fijo, que resuelve $ (\aleph)$. Esto involucra entender la interacción entre $ S(t-t')$, el operador solución al problema lineal asociado, y el término no lineal $ u^2 \partial_x u$. Es para entender esta interacción, el operador $ S(t)$, y la elección del espacio de funciones, que el análisis armónico desempeña un papel fundamental, a pesar de que, por ser el problema no lineal, el método original de Fourier no se aplica. Usando la estimación $ (\sharp)$, de forma crucial, uno puede probar:


Teorema 1 [Kenig-Ponce-Vega, 1993]: mKdV está (lbp) en $ H^s(\mathbb{R}), \; s \geq 1/4$.


Este es ``el mismo" 1/4 que en el teorema de Carleson. No obstante, no había ningún motivo a priori para sospechar que estas ideas daban un resultado óptimo para el problema no lineal. Efectivamente, un argumento heurístico de escala, sugiere que no. Esto es porque, si $ u$ resuelve mKdV, entonces

$\displaystyle u_{\lambda} (x,t) = \lambda u (\lambda x, \lambda^3 t)$

también resuelve mKdV, con dato inicial $ f_{\lambda} (x) = \lambda f (\lambda x)$. Observen que

$\displaystyle \partial^s_x f_{\lambda} (x) = \lambda^{1+s} (\partial^s_x f) (\lambda x)$

de manera que

$\displaystyle \Vert\partial^s_x f_{\lambda}\Vert _{L^2} = \lambda^{1+s-1/2}\Vert \partial^s_x f \Vert _{L^2}.$

Heurísticamente, el ``mejor $ s$" para (lbp), debe ser el que hace $ 1+s - 1/2 = 0$, que es $ s = - 1/2$, mucho más chico que $ 1/4$. Pero, en este problema, la heurística resulta falsa, y el resultado obtenido por los métodos de análisis armónico es óptimo:


Teorema 2 [Kenig-Ponce-Vega 2000]: mKdV no es $ (lbp)$ en $ H^s {(\mathbb{R})}$, para $ s<1/4.$


Teorema 3 [Colliander-Keel-Staffilani-Takaoka-Tao, 2001]: mKdV es (gbp) en $ H^s (\mathbb{R})$, para $ s \geq 1/4$, y no para $ s<1/4.$


Para dar alguna idea sobre cómo llegamos a la prueba del Teorema 2, recuerden el método de ``inverse scattering" para resolver mKdV, que reduce la solución del $ (PVI)$ para la ecuación no lineal, a resolver una familia de problemas espectrales inversos, lineales. Este método es muy bueno, pero tiene la desventaja de ser muy rígido, ya que no se aplica a ``pequeñas perturbaciones" y requiere que los datos iniciales decaigan fuertemente en el infinito. Más aún, la continuidad de la solución obtenida así, en espacios funcionales clásicos, es difícil de obtener (sino imposible). De cualquier manera, el método es muy útil para ciertos datos. Por ejemplo, para mKdV, el matemático japonés Wadati (1973) construyó, de esta manera, explícitamente, soluciones ``breather", que son periódicas en el tiempo, y que decaen exponencialmente en el espacio. Están dadas por la siguiente fórmula:

$ u_{N,\omega} (x,t) =$

$\displaystyle 2 \sqrt{6} \omega sech(\omega x + \gamma t) \frac{cos(Nx+\delta ... ...\gamma t)} {1 + (\omega/N)^2 sin^2 (Nx + \delta t) sech (\omega x + \gamma t)}$


donde $ \delta = N(N^2 - 3 \omega^2)$, $ \gamma = \omega (3 N^2 - \omega^2)$. Cuando $ \frac{\omega}{N} << 1$, es fácil ver que $ u_{N, \omega}(x,0) \simeq 2 \sqrt{6} \; \omega \; cos (Nx) sech \omega x.$

El teorema 2 se prueba usando estas soluciones. ¡El hecho de que el dato inicial debía ser de esta forma se adivinó usando Análisis Armónico!