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Primeros ejemplos y motivaciones

Comencemos con un ejemplo bien conocido. Consideremos un polinomio de grado dos:

$\displaystyle f(t) \, = \, a t^2 + b t + c \,, \quad a \not=0$

y su discriminante

$\displaystyle \Delta(f) = \Delta(a,b,c) = b^2 - 4 a c.$ (1.1)

Entonces, $ \Delta(a,b,c) = 0 \Leftrightarrow $ existe $ t \in \ensuremath{\mathbb{C}}$ que es raíz doble de $ f$ $ \Leftrightarrow $ existe $ t \in \ensuremath{\mathbb{C}}$ tal que $ f(t) = f'(t) = 0$ $ \Leftrightarrow $ la terna $ (a,b,c)$ es tal que existe $ t \in \ensuremath{\mathbb{C}}$ satisfaciendo simultáneamente $ a t^2 + b t + c = 2 a t + b =0.$ Geométricamente, la hipersuperficie $ \{(a,b,c) \in \ensuremath{\mathbb{C}}^3 \, / \, \Delta(a,b,c)=0\}$ es la proyección sobre las tres primeras coordenadas de la subvariedad de $ \ensuremath{\mathbb{C}}^4$ definida por la intersección de las hipersuperficies $ \{(a,b,c,t) / a t^2 + b t + c =0 \}$ y $ \{(a,b,c,t) \, / \, 2 a t + b = 0\}$, es decir, se ha eliminado la variable $ t$. En general, dado un polinomio univariado genérico de grado $ n$:

$\displaystyle f(t) \, = \, a_0 + a_1 t + \dots + a_n t^n\, , \quad a_n \not=0,$

es conocida clásicamente la existencia de un polinomio discriminante $ \Delta(f) = \Delta_n(f) = \Delta (a_0, \dots, a_n) \in \ensuremath{\mathbb{Z}}[a_0, \dots, a_n]$ irreducible y único salvo signo que verifica $ \Delta(a_0,\dots, a_n) \not=0 \Leftrightarrow $ f tiene todas sus raíces simples $ \Leftrightarrow $ $ f(t) = f'(t) = 0$ no tiene solución. Esta noción tiene numerosas aplicaciones en teoría de números. También podemos asociar un discriminante a un polinomio univariado ralo (o sparse, en inglés). Por ejemplo, fijemos los exponentes $ A = \{ 0,2,3,6\}$ y $ f_A(t) = a_0 + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_6 t^6.$ Entonces si $ f_A$ tiene algún cero múltiple, se anula el discriminante
$\displaystyle { \Delta_A(a_0, a_2, a_3, a_6) = - 108 a_2^3 a_3^4 - 34.992 a_0^{3}a_3^{2} a_6^{2} + 8.748 a_0^{2} a_3^{4}a_6 }$
    $\displaystyle - 729 a_0 a_3^6+ 8.640 a_0 a_2^3 a_3^2 a_6 + 1.024 a_2^6 a_6+ 13.824 a_0^2 a_2^3 a_6^2 + 46.656 a_0^4 a_6^3.$  

Notar que $ 108 = 1^1 2^2 3^3, 729 = 3^3 3^3, 1.024 = 2^2 4^4, 46.656 = 6^6.$ La teoría de discriminantes está íntimamente relacionada a nuestros esquemas de visión. Lo que vemos de un objeto $ \Sigma$ es su borde, es decir, los puntos $ p$ de $ \Sigma$ para los cuales el rayo de luz de nuestro ojo a $ p$ es tangente a $ \Sigma$, o más precisamente, una proyección de su borde. Si suponemos que establecemos un sistema de coordenadas proyectivas donde nuestros ojos están en el infinito del eje $ z$, y la superficie $ \Sigma$ está descripta por una ecuación polinomial $ \{ F(x,y,z)=0 \}$, buscamos la proyección $ \Delta(x,y)=0$ sobre el plano $ (x,y)$ (dada por el discriminante respecto de $ z$) de la curva de contacto definida por el par de ecuaciones $ F(x,y,z) = \frac {dF}{dz} (x,y,z) = 0$. Por otro lado, si miramos $ \{ F(x,y,z)=0 \}$ como una familia de curvas planas $ C_z$ parametrizadas por $ z$, cuando $ \Delta(x_0,y_0) \not=0$, podemos despejar $ z=g(x,y)$ cerca de $ (x_0,y_0)$. Es decir, pasa una única curva $ C_z$ por cada punto. Esto provee unicidad en la ecuación diferencial implícita $ F(x,y, \frac {dy}{dx}) = 0$, ya que es localmente equivalente a la ecuación diferencial explícita de primer orden $ dy/dx = g(x,y)$, y las soluciones singulares de la ecuación están contenidas en la variedad discriminantal $ \Delta(x,y) =0.$ La distancia a la variedad discriminantal está relacionada con la inestabilidad numérica [#!shub!#]. Consideremos el polinomio de Wilkinson

$\displaystyle p(t) = (t+1) (t+2) \dots (t+19)(t+20),$

que claramente tiene $ 20$ raíces reales. Sin embargo, el polinomio $ q(t) = p(t) + 10^{-9} t^{19},$ obtenido por una pequeña perturbación de uno de los coeficientes de $ p\, $ tiene sólo $ 12$ raíces reales y $ 4$ pares de raíces complejas conjugadas, un par con parte imaginaria aproximadamente $ \pm 0,88 i$. Podemos explicar este fenómeno en términos del discriminante. Miremos la familia uniparamétrica de polinomios $ p_a(t) = p(t) + a t^{19}$. Entonces $ p(t) = p_{0}$ y $ q(t) = p _{10^{-9}}$. Para que un par de raíces complejas conjugadas ``se unan'' para dar dos raíces reales, debe haber un valor del parámetro $ a$ para el cual, ambas raíces coincidan, es decir, es necesario atravesar los ceros del discriminante $ \Delta(a).$ En efecto, $ \Delta(a)$ resulta ser un polinomio de grado $ 20$ con $ 15$ de sus raíces muy cercanas a 0, y en particular, existe una raíz $ a$ entre 0 y $ 10^{-9}$. Es decir, que los coeficientes de $ p$ son muy cercanos a los coeficientes de un polinomio con una raíz múltiple.
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