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A-discriminantes

Fijemos un conjunto finito $ A= \{a_1,\dots, a_n\}$ de puntos enteros en $ \ensuremath{\mathbb{Z}}^{d}$ y consideremos el polinomio ralo genérico con exponentes en $ A$ (y coeficientes variables $ x=(x_1,\dots, x_n)$):

$\displaystyle f_A(t) \, = \, f_A (x;t) \, = \, x_1 t^{a_1} + \dots + x_n t^{a_n}\, , \quad t=(t_1,\dots,t_d).$

Llamemos $ Z_A$ a la variedad

$\displaystyle \{ x \in \ensuremath{\mathbb{C}}^n \, / \, {\rm existe \, } t \in... ...A} {\partial t_1} (t) = \dots = \frac {\partial f_A} {\partial t_d} (t) = 0\}.$

Cuando $ Z_A$ es una hipersuperficie, es decir tiene codimensión $ 1$, existe un polinomio irreducible $ \Delta_A \in \ensuremath{\mathbb{Z}}[x_1,\dots,x_n]$ definido salvo signo tal que $ Z_A = \{ \Delta_A =0 \}$ [#!gkzbook!#]. Notemos que si $ \Delta_A(x) \not= 0,$ la hipersuperficie $ \{ t \in (\ensuremath{\mathbb{C}}^*)^d \, / \, f_A(t) =0 \}$ es no singular. Cuando la codimensión de $ Z_A$ no es $ 1$, definimos el $ A$-discriminante como el polinomio constante $ 1$. Mencionemos que es posible asociar a $ A$ una variedad tórica proyectiva cuya variedad dual es precisamente la variedad discriminantal $ Z_A$. Asimismo, el Problema $ 16$ de Hilbert, que concierne la clasificación topológica de curvas reales no singulares definidas por polinomios reales bivariados, lleva al estudio de las componentes conexas del complemento de una variedad discriminantal. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.1   Si $ A = \{ 0, 1,2 \} \in \ensuremath{\mathbb{Z}},$ el polinomio genérico ralo $ f_A (t) = x_1 + x_2 t + x_3 t^2$ es simplemente el polinomio genérico de grado dos que consideramos en §[*], y el discriminante ralo $ \Delta_A = x_2^2 - 4 x_1 x_3$ es el polinomio $ \Delta(x_3, x_2, x_1)$ en ([*]).

Ejemplo 1.2   Sea $ A = \{ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) \}$ el conjunto de vértices del cuadrado unitario en el plano. En este caso, $ f_A(t) \, = \, x_1 + x_2 t_1 + x_3 t_2 + x_4 t_1 t_2$ y el discriminante ralo es simplemente $ \Delta_A(x) = x_1 x_4 - x_2 x_3.$

Ejemplo 1.3   Supongamos que $ A \subseteq \ensuremath{\mathbb{Z}}^2$ es el conjunto de los $ 10$ puntos enteros del triángulo con vértices en el origen, en $ (3,0)$ y en $ (0,3)$. Entonces, $ f_A$ es un polinomio cúbico genérico en $ 2$ variables y $ \Delta_A$ (el discriminante de una curva elíptica general) es un polinomio de grado $ 12$ en $ 10$ variables con $ 2.040$ monomios.

Recordemos que dado un polinomio de Laurent $ g(x) = \sum_{\alpha \in F} c_\alpha x^\alpha$ (donde $ F$ es un subconjunto finito de $ \ensuremath{\mathbb{Z}}^m$), el polítopo de Newton $ N(g)$ de $ g$ es la cápsula convexa en $ \ensuremath{\mathbb{R}}^m$ del conjunto de exponentes presentes en $ g$ con coeficiente no nulo $ \{ \alpha \in F \, / \, c_\alpha \not=0\}.$ Conocer el polítopo de Newton de un polinomio permite estudiar su comportamiento asintótico. Algunos problemas en este contexto son: Dado un conjunto finito $ A$ de puntos con coordenadas enteras:
  1. Qué monomios aparecen en $ \Delta_A$?, o Cuál es el polítopo de Newton $ N(\Delta_A)?$
  2. Qué grado tiene $ \Delta_A$?
  3. Qué coeficientes aparecen?
  4. Cuándo es $ Z_A$ una hipersuperficie?
Cuando $ A$ consiste de $ d+2$ puntos mínimamente afínmente dependientes (un circuito), como en los ejemplos 1.1 y 1.2, las respuestas a estas preguntas son conocidas, y relativamente sencillas. Hay respuestas parciales a estas preguntas en [10] en el caso general, donde $ N(\Delta_A)$ es descripto combinatoriamente en términos de triangulaciones regulares de la cápsula convexa de $ A$ con simplices cuyos vértices están en $ A$. El caso de codimensión dos (es decir, cuando $ A$ tiene $ d+3$ puntos, y la dimensión de su cápsula convexa es $ d$) ha sido abordado en [9,17], incluyendo algoritmos para el cálculo de $ A$-discriminantes. En vez de hacer definiciones generales y citar resultados precisos, nos limitaremos en esta exposición a desarrollar un ejemplo elemental de codimensión dos para ilustrar algunos de estos resultados.

Ejemplo 1.4   El polinomio univariado genérico de grado $ 3$

Tomemos $ A = \{ 0, 1,2, 3 \} \subset \ensuremath{\mathbb{Z}}$. El polinomio genérico ralo $ f_A (t) = x_0 +x_1 t + x_2 t^2 + x_3 t^3$ es simplemente el polinomio genérico de grado $ 3$ en una variable y el discriminante es en este caso

$\displaystyle \Delta_A \, = \, - 27 x_0^2 x_3^2 + x_1^2 x_2^2- 4 x_1^3 x_3 - 4 x_0 x_2^3 + 18 x_0 x_1 x_2 x_3.$

El polítopo de Newton $ N(\Delta_A)$ es la cápsula convexa en $ \ensuremath{\mathbb{R}}^4$ del conjunto $ \{ (2,0,0,2), (0,2,2,0), (0,3,0,1), (1,0,3,0), (1,1,1,1)\}$. Notemos que $ N(\Delta_A)$ es de hecho un polígono contenido en el plano $ \{ \alpha \in \ensuremath{\mathbb{R}}^4 \, / \, \alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 4 \, , \, \alpha_1 + 2 \alpha_2 + 3 \alpha_3 = 6 \}$. En particular, $ \Delta_A$ es un polinomio homogéneo de grado $ 4$ y la dimensión de $ N(\Delta_A)$ es igual al cardinal de $ A$ menos $ 2$. Es fácil comprobar que de hecho $ N(\Delta_A)$ es un cuadrilátero con vértices en los puntos $ (2,0,0,2), (0,2,2,0), (0,3,0,1), (1,0,3,0)$, y el quinto punto resulta ser un punto interior. Observemos por otro lado la cápsula convexa de $ A$, es decir el segmento $ I =[0,3]$ en la recta real. Hay cuatro `` triangulaciones'' o particiones posibles de $ I$, es decir, cuatro subdivisiones en simples de dimensión $ 1$, o sea segmentos: Notemos que si en cada caso multiplicamos los valores de $ \ell^\ell$, donde $ \ell$ recorre las longitudes de los segmentos en la triangulación, obtenemos respectivamente $ 3^3 = 27; 1^1 2^2 =4; 2^2 1^1 = 4 $ y $ 1^1 1^1 1^1 1^1 =1$, que son salvo signo los coeficientes de los monomios en $ \Delta_A$ que corresponden a los $ 4$ vértices del polítopo de Newton. Estos vértices pueden recuperarse a partir de las $ 4$ triangulaciones de la siguiente manera: a cada triangulación $ T_i \, , \, i=1, 2,3,4$, asignémosle el vector $ \beta_i \in \ensuremath{\mathbb{Z}}^4$ cuya $ j$-ésima coordenada, $ j=0,1,2,3$, es igual a la suma de las longitudes de los segmentos en la triangulación $ T_i$ para los cuales el punto $ j$ es un extremo. Entonces los vértices son los puntos $ \beta_i - (1,0,0,1).$ Se llama un dual de Gale de $ A$, a una colección de $ 4$ vectores enteros en el plano $ b_0, b_1, b_2, b_3$ tales que la matriz $ B \in \ensuremath{\mathbb{Z}}^{4 \times 2}$ cuyas filas son los vectores $ b_i$, verifica que sus columnas generan sobre $ \ensuremath{\mathbb{Z}}$ las relaciones enteras de dependencia afín entre los puntos de $ A$. En nuestro caso, podemos por ejemplo tomar los vectores $ b_0 = (1,0), b_1 = (-2,1), b_2 = (1,-2), b_3 = (0,1).$ Si dibujamos los vectores en el plano, las semirrectas por el origen que generan parten el plano en cuatro conos convexos, que corresponden precisamente a las $ 4$ triangulaciones de $ I$. Ordenemos los vectores $ b_i$ en sentido antihorario, y consideremos el cuadrilátero $ Q$ construido a partir del origen yuxtaponiendo estos vectores, es decir, con vértices en $ (0,0), (1,0), (1,1)$ y $ (-1,2)$. Notemos que $ Q$ tiene un único punto entero interior, el $ (0,1)$. Asociemos a cada vector $ b_i= (b_{i1}, b_{i2})$ la transformación lineal $ {\rm det}_i(m) = {\rm det} (b_i,m) = b_{i1} m_2 - b_{i2} m_1.$ Llamemos $ \nu_i$ (resp. $ \mu_i$) al mínimo (resp. máximo) de la funcional $ {\det}_i$ sobre $ Q$, para $ i=0,1,2,3.$ Resulta $ \nu = (0, -3, 0, -1)$, $ \mu=(2,0,3,1).$ El polítopo de Newton $ N(\Delta_A)$ es la imagen de $ Q$ por la transformación afín que envía el vector $ m$ del plano al vector de $ \ensuremath{\mathbb{R}}^4$ cuya $ i$-ésima coordenada es igual a $ \det_i(m) - \nu_i\, , \, i=0,1,2,3.$ En particular, vértices van a vértices, y es posible calcular el grado y las homogeneidades del discriminante, como ya vimos. Asimismo, es posible recuperar la longitud de $ I$ (que es el grado de la variedad tórica asociada a $ A$) a partir de $ B$ de dos maneras diferentes. Por un lado, como la semisuma de los máximos $ \mu_i$: $ \frac 1 2 \, (2 + 0 + 3 + 1) = 3$, y por otro, como el producto $ 2 \times 2$ de la suma de las coordenadas positivas en cada una de las dos columnas de $ B$ menos un índice asociado a los vectores $ b_1, b_2$ que viven en el interior de cuadrantes opuestos y que se define como el mínimo de los módulos $ \vert b_{11} b_{22}\vert =4$ y $ \vert b_{12} b_{21}\vert=1$. Todas las propiedades que hemos enunciado son un caso particular de teoremas generales.

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