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Una breve introducción

Comencemos con dos ejemplos clásicos.

Ejemplo 2.1   Polinomios en una variable

Fijemos dos enteros positivos $ d_1, d_2$ y consideremos polinomios genéricos en una variable con estos grados:

$\displaystyle f(t) = \sum_{i=0}^{d_1} a_i t^i \, , \, \, \, g(t) = \sum_{i=0}^{d_2} b_i t^i \, .$

El sistema $ f(t) = g(t) =0$ es en general sobredeterminado y no tiene solución. Es clásicamente conocido que existe un polinomio irreducible $ R_{d_1,d_2}(f,g)$ $ = R_{d_1,d_2}(a_0, \dots, a_{d_1}, b_0, \dots, b_{d_2})$ con coeficientes enteros e irreducible llamado la resultante de $ f$ y $ g$, cuya anulación en los coeficientes de $ f$ y $ g$ es equivalente al hecho de que los dos polinomios tengan alguna raíz compleja en común. Geométricamente, la hipersuperficie $ \{ (a,b) \in \ensuremath{\mathbb{C}}^{d_1+d_2+2} \, / \, R_{d_1,d_2}(a,b) =0 \}$ es la proyección de la variedad de incidencia $ \{ (a,b,t) \in \ensuremath{\mathbb{C}}^{d_1+d_2+3} \, / \, \sum_{i=0}^{d_1} a_i t^i = \sum_{i=0}^{d_2} b_i t^i =0\}$; o sea, se ha eliminado la variable $ t$. Un conocido teorema de Sylvester permite calcular la resultante como el determinante de una matriz de tamaño $ d_1+d_2$ cada una de cuyas entradas es un coeficiente de alguno de los polinomios, o cero. Por ejemplo, si $ d_1 =d_2 = 2,$ la resultante es el siguiente polinomio en $ 6$ variables $ (a_0, a_1, a_2, b_0, b_1, b_2)$:

$\displaystyle b_2^2 a_0^2 -2 b_2 a_0 a_2 b_0 + a_2^2 b_0^2 - b_1b_2a_1a_0 -b_1 a_1 a_2 b_0 + a_2 b_1^2 a_0 +b_0 b_2 a_1^2$

y se calcula como el determinante de la siguiente matriz $ 6 \times 6$:

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 \\ ... ...& b_2 & 0 \\ 0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 \end{array} \right) \end{displaymath}

Ejemplo 2.2   El caso homogéneo Consideremos $ n+1$ formas genéricas de grado $ 1$ en $ n+1$ variables:

$\displaystyle f_i(x) \, = \, \sum_{i=0}^n a_{ij} \, x_j \, , \quad i=0,\dots,n.$

Entonces, existe $ x \not= 0$ tal que es solución del sistema lineal homogéneo $ f_0(x) = \dots = f_n(x) = 0$ $ \Leftrightarrow \det( a_{ij}) = 0.$ Es decir, que el determinante es un polinomio en los coeficientes de las formas dadas que permite resolver el problema de eliminación de decidir si existe o no una solución no trivial del sistema. En general, fijados grados $ d_0, \dots, d_n$, consideremos polinomios homogéneos genéricos con estos grados

$\displaystyle f_i(x) \, = \, \sum_{\{\alpha \in \ensuremath{\mathbb{N}}_0^n \, / \, \vert\alpha\vert= d_i\}} a^i_\alpha \, x^\alpha.$

Cayley, Sylvester, Bézout y Macaulay demostraron la existencia de un polinomio irreducible $ {\rm Res}_{d_0,\dots, d_n} \in \ensuremath{\mathbb{Z}}[ a^i_\alpha\, , \, i=0,\dots,n, \vert\alpha\vert = d_i]$ que se anula en los coeficientes de $ f_0, \dots, f_n$ si y sólo si existe una raíz común $ x \not= 0$ no trivial del sistema $ f_0(x) = \dots = f_n(x) = 0$, es decir, si y sólo si existe una raíz común en el espacio proyectivo compacto $ \ensuremath{\mathbb{P}}^n(\ensuremath{\mathbb{C}}).$ Cuando todos los grados son iguales a $ 1$, $ {\rm Res}_{1, \dots,1}$ coincide con el determinante del sistema lineal.

Así como el determinante de un sistema lineal puede utilizarse no sólo para verificar la existencia de soluciones no triviales de un sistema homogéneo, sino que puede utilizarse también para calcular la solución de un sistema no homogéneo, es posible utilizar las resultantes para ``resolver'' sistemas algebraicos no lineales. Dados $ g_1, \dots, g_n$ polinomios de grados respectivos $ d_1,\dots, d_n$, denotemos por $ f_1 (x), \dots,$ $ f_n (x)$ sus respectivas homogeneizaciones $ f_i = x_0^{d_i} g_i( x_1/x_0, \dots, x_n/x_0).$ El polinomio univariado $ h_1(x)= {\rm Res}_{1,d_1,\dots,d_n} (x_1-x, f_1, \dots, f_n)$ se anula en todos aquellos puntos $ x \in \ensuremath{\mathbb{C}}$ que sean la primer coordenada de una raíz común en de los polinomios $ g_1, \dots, g_n$. Es decir, usando resultantes es posible eliminar $ n-1$ variables, y reducir la búsqueda de las raíces comunes de un sistema multivariado a la búsqueda de raíces de polinomios en una variable. Por supuesto, esto es útil únicamente si podemos asegurar que el polinomio obtenido no es idénticamente cero. Una condición necesaria es que los polinomios $ g_1, \dots, g_n$ tengan finitas raíces comunes. Observemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.3   Polinomios con ``soporte cuadrado''

Consideremos los siguientes polinomios genéricos ralos con soporte en el cuadrado unitario:

$\displaystyle f_i \, = \, a_i + b_i t_1 + c_i t_2 + d_i t_1 t_2 \, , \quad i=0,1,2.$

Para coeficientes genéricos, estos $ 3$ polinomios en $ 2$ variables de grado $ 2$ no tienen raíces comunes en $ \ensuremath{\mathbb{C}}^2$. Sin embargo, sus homogeneizados se anulan en los puntos $ (t_0,t_1,t_2) = (0,1,0)$ y $ (0,0,1)$, para toda elección de coeficientes. Por lo tanto $ {\rm Res}_{2,2,2} (f_0, f_1, f_2) \equiv 0$, y no provee ninguna información.

Es necesario entonces considerar resultantes ``a medida'', de acuerdo al soporte de los polinomios. Esto ha conducido a la noción de $ A$-resultantes, o más generalmente, de $ (A_0, \dots, A_n)$-resultantes, donde $ A_i\, , \, i=0,\dots, n$, son subconjuntos finitos de puntos enteros en $ \ensuremath{\mathbb{Z}}^n$ [10,14,15]. La familia de soportes $ (A_0, \dots, A_n)$ se dice esencial cuando para todo subconjunto propio $ J = \{ i_1, \dots, i_j\}$ de $ \{0, \dots, n\}$, la menor variedad afín que contiene a los puntos de la suma de Minkowski $ \{ a_{i_1} + \dots +a_{i_j}\, / \, a_{i_k} \in A_{i_k} \, , \, k=1,\dots, j\}$ es de dimensión mayor o igual que $ j$. Si esta propiedad se verifica, entonces existe un polinomio irreducible con coeficientes enteros $ {\rm Res}_{(A_0,\dots,A_n)} (f_{A_0},\dots, f_{A_n})$ definido salvo signo, que se anula cuando existe un punto $ t \in (\ensuremath{\mathbb{C}}^*)^n$ que es una raíz común de los polinomios ralos $ f_{A_0},\dots, f_{A_n}$ con soporte en $ A_0, \dots, A_n$ respectivamente. De hecho, la resultante se anula si y sólo si las clausuras de las hipersuperficies $ \{ t \in (\ensuremath{\mathbb{C}}^*)^n \, / \, f_{A_i}=0\}$ ( $ i = 0, \dots, n$) tienen intersección vacía en una apropiada compactificación tórica de $ (\ensuremath{\mathbb{C}}^*)^n$ asociada a la familia de soportes. En la última década, el uso de resultantes como una herramienta computacional para la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales, ha renovado ampliamente el interés en su estudio y en la búsqueda de fórmulas explícitas para su cálculo [6,7].
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