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El teorema se prueba construyendo la descomposición de Calderón-Zygmund
de los conjuntos de nivel de
132#132 in 133#133
y estimando su medida.
Aplicando la condición 122#122 con 134#134
y 135#135 tenemos
and
137#137
Dado
80#80 existe
138#138 tal que
Con este valor de
140#140 y como
107#107, elegimos
141#141 tal que
Entonces
para todo
144#144 y
145#145.
Notar que
146#146 y
147#147.
Dado
148#148, consideramos los conjuntos de nivel,
149#149
donde 150#150 será elegido más tarde,
144#144.
Por (![[*]](file:/usr/share/latex2html/icons/crossref.png)
) podemos construir la descomposición de Calderón-Zygmund
del conjunto
151#151 a nivel 83#83.
Por lo tanto,
obtenemos un familia
152#152 de cubos diádicos de 133#133,
153#153, tal que
-
154#154;
-
155#155, con
156#156
el predecesor of
157#157;
-
158#158, p.p.
Ahora clasificamos los cubos de
152#152 de acuerdo a su
tamaño
con respecto a
13#13 en dos clases:
159#159 es un número positivo grande
elegido más tarde y
dependiendo solo de 83#83,
160#160 Cubos
161#161 de tipo 162#162 (baja frecuencia):
163#163
160#160
Cubos
161#161 de
tipo 164#164 (alta frecuencia):
165#165
Notar que
hay a lo sumo un número finito de cubos de tipo 162#162.
Ahora definimos el conjunto
La idea es estimar la medida de los conjuntos
167#167 y
151#151 uniformente en
13#13 eligiendo apropiadamente
159#159 y 150#150
-recalcamos que estos parámetros son elegidos explícitamente-.
160#160 Estimación de
168#168:
Suponemos (B).
Dado
80#80, 169#169
170#170 y
171#171 grandes tal que
172#172
para todo
148#148,
173#173 y
174#174
160#160 Estimación de
175#175:
Suponemos (A) y (B), y además 176#176.
Existen constantes positivas 150#150 (grande), 60#60 (grande) y
177#177 (chico), dependientes solamente de 131#131 y de los
parámetros en (A) y (B) tales que
para todo 180#180 y
181#181 los conjuntos definidos con
la descomposición de
Calderón-Zygmund a nivel
182#182.
La condición 121#121 se usa para manejar los cubos de tipo 164#164
y
122#122 se usa para los cubos de tipo 183#183
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