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Espacios de Lipschitz

De ahora en adelante supondremos que $\mu(\mathbb{X})=\infty.$ Los resultados que siguen son también ciertos cuando $\mu(\mathbb{X})<\infty,$ pero en tal caso, hay otros resultados que son más apropiados.

Definición 5.1 Dado $\beta\in ]0,1[,$ diremos que la función
$f:\mathbb{X}\rightarrow \mathbb{R}$ satisface una condición de Lipschitz de orden $\beta$ si

(5.1)

$\displaystyle \left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq Cd(x,y)^{\beta}\; \hbox{para cada}\; x,y\in\mathbb{X}$

y la constante más pequeña en la desigualdad (5.1) se denotará mediante $\left\Vert f\right\Vert _{{\mathcal Lip}(\beta)}$ Es fácil ver que el espacio vectorial de todas las funciones Lipschitz de orden $\beta,$ modulo constantes, se convierte, con la norma $\left\Vert\; \right\Vert _{{\mathcal Lip}(\beta)},$ en un espacio de Banach, al que llamaremos ${\mathcal Lip}(\beta).$

Teorema 5.2 Sea $k_{\alpha}$ un núcleo fraccionario con regularidad $\varepsilon .$ Si $p>n/\alpha$ y $\alpha-\frac{n}{p}<\varepsilon ,$ entonces $\widetilde{K_{\alpha}}$ lleva $L^p(\mu)$ acotadamente en ${\mathcal Lip}\left(\alpha-\frac{n}{p}\right).$

Demostración. Consideremos $x\neq y$ y sea

la bola abierta de centro

y radio

Entonces,

$\displaystyle \left\vert\widetilde{K_{\alpha}}f(x)-\widetilde{K_{\alpha}}f(y)\right\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \int_{2B}\left\vert k_{\alpha}(x,z)\right\vert \vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z)$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \int_{2B}\left\vert k_{\alpha}(y,z)\right\vert \vert f(z)\vert\,{\rm d} \mu(z)$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \int_{\mathbb{X}\setminus 2B}\left\vert k_{\alpha}(x,z)-k_{\alpha}(y,z)\right\vert \vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z).$

Acotaremos cada uno de estos tres términos separadamente. Para los dos primeros usamos (4.1) y la desigualdad de Hölder.

	$\displaystyle \int_{2B}\left\vert k_{\alpha}(x,z)\right\vert \vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z)$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \int_{2B}\frac{\vert f(z)\vert}{d(x,z)^{n-\alpha}}\,{\rm d}\mu(z)$
		$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}\left(\int_{2B}\frac{\,{\rm d}\mu(z)}{d(x,z)^{(n-\alpha)p'}}\right)^{1/p'}$

Observamos que $(n-\alpha)p'=n-p'\left(\alpha-\frac{n}{p}\right)$ y, como $\alpha-\frac{n}{p}>0,$ la integral converge y, en virtud del Lema 2.1, tenemos

$\displaystyle \int_{2B}\left\vert k_{\alpha}(x,z)\right\vert \vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z) \leq C \left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}(2r)^{\alpha-(n/p)}.$

El segundo término se acota de forma similar teniendo en cuenta que $2B\subset B(y,3r).$ Para estimar el tercer término usamos (4.2) y la desigualdad de Hölder, obteniendo

			$\displaystyle \int_{\mathbb{X}\setminus 2B}\left\vert k_{\alpha}(x,z)-k_{\alpha}(y,z)\right\vert \vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z)$
			$\displaystyle \leq \int_{\mathbb{X}\setminus 2B}\frac{C d(x,y)^{\varepsilon }}{d(x,z)^{n-\alpha+\varepsilon }}\; \vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z)$
			$\displaystyle \leq C d(x,y)^{\varepsilon }\left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}\l... ...us 2B}\frac{\,{\rm d}\mu(z)}{d(x,z)^{(n-\alpha+\varepsilon )p'}}\right)^{1/p'}.$

Observamos que $(n-\alpha+\varepsilon )p'=n+p'\left(\frac{n}{p}+\varepsilon -\alpha\right)$ y puesto que, por hipótesis $\frac{n}{p}+\varepsilon -\alpha>0,$ la integral converge y, por el Lema 2.2

$\displaystyle \int_{\mathbb{X}\setminus 2B}\left\vert k_{\alpha}(x,z)-k_{\alpha... ...\mu(z) \leq C\left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}d(x,y)^{\alpha-\frac{n}{p}}.$

Sumando las tres estimaciones obtenemos

$\displaystyle \left\vert\widetilde{K_{\alpha}}f(x)-\widetilde{K_{\alpha}}f(y)\right\vert \leq C\left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}d(x,y)^{\alpha-\frac{n}{p}},$

que es lo que queríamos demostrar.

Teorema 5.3 Sea $k_{\alpha}$ un núcleo fraccionario con regularidad $\varepsilon ,$ y sean $\alpha, \beta>0$ tales que $\alpha+\beta<\varepsilon .$ Entonces $\widetilde{K_{\alpha}}$ es un operador acotado de ${\mathcal Lip}(\beta)$ en ${\mathcal Lip}(\alpha+\beta)$ si y sólo si $\widetilde{K_{\alpha}}(1)=0.$

Demostración. Para ver que la condición es necesaria, observamos que la continuidad del operador $\widetilde{K_{\alpha}}$ implica que $\widetilde{K_{\alpha}}(1)$ ha de ser una constante. Por otro lado, $\widetilde{K_{\alpha}}(1)(x_0)=0.$ Por consiguiente, la constante tiene que ser

Para probar la suficiencia consideramos $x\neq y$ puntos de $\mathbb{X},$ y queremos estimar $\left\vert\widetilde{K_{\alpha}}(f)(x)-\widetilde{K_{\alpha}}(f)(y)\right\vert .$ Primero nos damos cuenta de que

	$\displaystyle \widetilde{K_{\alpha}}(1)=0$	$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle \widetilde{K_{\alpha}}(1)(x)-\widetilde{K_{\alpha}}(1)(y)=0$
		$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle \int_{\mathbb{X}}\left\{k_{\alpha}(x,z) -k_{\alpha}(y,z) \right\}\,{\rm d}\mu(z)=0,$

donde las integrales convergen por ser $0<\alpha<\varepsilon .$

			$\displaystyle \hbox{As{\'\i} pues podemos escribir}\; \; \widetilde{K_{\alpha}}(f)(x)-\widetilde{K_{\alpha}}(f)(y)$
		$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{\mathbb{X}} \left\{k_{\alpha}(x,z)-k_{\alpha}(y,z)\right\} \left(f(z)-f(x)\right)\,{\rm d}\mu(z)= I+II,$

donde

es la integral sobre $2B,\; \hbox{siendo}\; B$ la bola abierta de centro

y radio

es la integral sobre $\mathbb{X}\setminus 2B.$ Entonces

	$\displaystyle \vert I\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \int_{2B}\frac{1}{d(x,z)^{n-\alpha}}\left\vert f(z)-f(x)\right\vert \,{\rm d}\mu(z)$
		$\displaystyle +$	$\displaystyle \int_{2B}\frac{1}{d(y,z)^{n-\alpha}}\left\vert f(z)-f(x)\right\vert \,{\rm d}\mu(z)$

En la última suma, ambos términos se pueden estimar del mismo modo. Por ejemplo, para el primero, usando el Lema 2.1 obtenemos

$\displaystyle \int_{2B}\frac{d(x,z)^{\beta}\,{\rm d}\mu(z)}{d(x,z)^{n-\alpha}}\leq C (2r)^{\alpha+\beta}\leq C d(x,y)^{\alpha+\beta}$

y para el segundo, extendiendo la integral a

obtenemos la misma cota. Para estimar

usamos (4.2) y Lema 2.2 y obtenemos

$\begin{multline*} \vert II\vert\leq C\int_{\mathbb{X}\setminus 2B}\frac{d(x,y)... ...lon }r^{\alpha+\beta-\varepsilon }\leq C d(x,y)^{\alpha+\beta}. \end{multline*}$

Esto termina la demostración.

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