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El espacio $ {B\!M\!O}$`` regular'' de X. Tolsa

Para esta sección y la siguiente el espacio será $ \mathbb{X}=\mathbb{R}^d$ con una medida $ \mu$ $ n-$dimensional, $ n\leq d.$ Este es el contexto para el cual ha introducido X. Tolsa (en [To3]) el espacio $ {B\!M\!O}$ `` regular'', aunque su definición tiene sentido en nuestro contexto general. Todas las bolas consideradas en esta sección y en la próxima se supondrán centradas en puntos del soporte de $ \mu.$

Definición 6.1   Diremos que la función $ f\in L^1_{\rm loc}(\mu)$ es `` regular de oscilación media acotada'' con respecto a $ \mu$ si se satisfacen las siguientes dos condiciones, donde $ \rho>1$ es una constante fija.
a)
Existe una constante $ C,$ tal que, para cada bola $ B$

(6.1) $\displaystyle \int_B\left\vert f(x)-m_B(f)\right\vert \,{\rm d}\mu(x)\leq C\mu(\rho B),$

donde $ \displaystyle m_B(f)=\frac{1}{\mu(B)}\int_Bf(x)\,{\rm d}\mu(x)$ ; y también
b)
existe una constante $ C,$ tal que, para cada dos bolas $ B\subset V,$ siendo $ B$ de radio $ r:$

(6.2) $\displaystyle \left\vert m_B(f)-m_V(f)\right\vert \leq C K_{B,V}\left(\frac{\mu(\rho B)}{\mu(B)}+\frac{\mu(\rho V)}{\mu(V)}\right),$

donde

(6.3) $\displaystyle K_{B,V}=1+\sum_{k=1}^{N_{B,V}}\frac{\mu(2^kB)}{(2^kr)^n},$

siendo $ N_{B,V}$ el primer entero $ k$ tal que $ 2^kB\supset V.$

Si denotamos por $ \left\Vert f\right\Vert _{\star}$ la constante $ C$ más pequeña para la que se cumplen (6.1) y (6.26.1) y (6.2 ), el espacio $ {R\!B\!M\!O}(\mu)$ obtenido considerando iguales aquellas funciones regulares de oscilación media acotada que difieren en una constante, es un espacio de Banach con la norma $ \left\Vert\; \right\Vert _{\star}.$ Es un hecho fundamental, probado por X. Tolsa, que el espacio no depende de la constante $ \rho>1$ utilizada. Asimismo, Tolsa ha demostrado, que en la definición de $ {R\!B\!M\!O}(\mu)$ se pueden usar cubos en lugar de bolas sin que varíe el espacio definido.

Lema 6.2   Sea $ f\in L^{n/\alpha}(\mu)$ una función que se anula fuera de $ \rho B,$ siendo $ B$ una bola y $ \rho\geq 1.$ Entonces

(6.4) $\displaystyle \int_B\left\vert I_{\alpha}f(x)\right\vert \,{\rm d}\mu(x)\leq C\left\Vert f\right\Vert _{L^{n/\alpha}(\mu)}\mu(\rho B)$

con $ C$ independiente de $ f, \; \rho$ y $ B.$

Demostración. Elegimos $ p\in]1,n/\alpha[$ y consideramos el correspondiente $ q$ tal que $ 1/q=1/p-\alpha/n.$ Entonces, aplicando la desigualdad de Jensen (dos veces) y el teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev (corolario 3.3), obtenemos
  $\displaystyle \frac{1}{\mu(\rho B)}\int_B\left\vert I_{\alpha}f(x)\right\vert \... ...int_{\rho B}\left\vert I_{\alpha}f(x)\right\vert ^q\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/q}$    
  $\displaystyle \leq \frac{C}{\mu(\rho B)^{1/q-1/p}}\left(\frac{1}{\mu(\rho B)}\int_{ \rho B}\left\vert f(x)\right\vert ^p\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/p}$    
  $\displaystyle \leq \frac{C}{\mu( \rho B)^{1/q-1/p}}\left(\frac{1}{\mu(\rho B)}\... ...\,{\rm d}\mu(x)\right)^{\alpha/n}=C\left\Vert f\right\Vert _{L^{n/\alpha}(\mu)}$    

Lema 6.3   Sean $ B\subset V$ bolas. Existe una constante $ \rho>1,$ independiente de $ B$ y $ V,$ tal que

$\displaystyle 4V\subset 2^{N_{B,V}+3}B\subset\rho V, $

donde $ N_{B,V}$ es el número entero que aparece en (6.3).

Demostración. Sean $ B=B(x_B,r)$ y $ V=B(x_V,s).$ Entonces

$\displaystyle 2^{N_{B,V}}B\supset V\Rightarrow 4V\subset 5\cdot 2^{N_{B,V}}B\subset 2^{N_{B,V}+3}B $

También, como $ 2^{N_{B,V}-1}B\not\supset V,$ sabemos que existe algún $ y\in V,$ tal que $ d(y,x_B)>2^{N_{B,V}-1}r.$ Por consiguiente

$\displaystyle r<\frac{d(y,x_B)}{2^{N_{B,V}-1}}\leq\frac{d(y,x_V)+d(x_V,x_B)}{2^{N_{B,V}-1}} \leq\frac{2s}{2^{N_{B,V}-1}}=\frac{s}{2^{N_{B,V}-2}}. $

Entonces si $ d(x,x_B)<2^{N_{B,V}+3}r,$ tenemos

$\displaystyle d(x,x_V)\leq d(x,x_B)+d(x_B,x_V)\\ <2^{N_{B,V}+3}r+s<32 s+s=33 s, $

que es lo que queríamos con $ \rho=33.$ A partir de ahora y hasta el final de la sección usaremos el valor fijo $ \rho=33.$

Definición 6.4   Sea $ 0<\alpha<\varepsilon \leq 1$ y supongamos que $ k_{\alpha}(x,y)$ es un núcleo fraccionario con regularidad $ \varepsilon .$ Para $ f\in L^{n/\alpha}(\mu),$ definimos

(6.5) $\displaystyle \overline{K_{\alpha}}(f)(x) =\int_{\mathbb{X}} \left\{k_{\alpha... ...chi_{\mathbb{X}\setminus B(x_0,1)}k_{\alpha}(x_0,y)\right\}f(y)\,{\rm d}\mu(y)$

para algún $ x_0\in \mathbb{X}$ fijo. Veremos más abajo en el Teorema 6.5 que $ \overline{K_{\alpha}}f(x)$ está bien definido para casi todo punto $ x$ con respecto a $ \mu.$

Aunque la definición depende de la elección de $ x_0;$ diferentes elecciones de $ x_0$ dan lugar a funciones que difieren solamente en una constante.

Teorema 6.5   Sea $ 0<\alpha<\varepsilon \leq 1$ y supongamos que $ k_{\alpha}$ es como en la última definición y $ f\in L^{n/\alpha}(\mu).$ Entonces $ \overline{K_{\alpha}}(f)$ está bien definido por ( 6.5) en casi todo punto con respecto a $ \mu,$      $ \overline{K_{\alpha}}(f)\in {R\!B\!M\!O}(\mu)$ y

$\displaystyle \left\Vert\overline{K_{\alpha}}(f)\right\Vert _{\star}\leq C\left\Vert f\right\Vert _{L^{n/\alpha}(\mu)} $

con $ C$ independiente de $ f.$

Demostración. Primero demostraremos la condición ( 6.1) y, al mismo tiempo, la existencia en casi todo punto de la integral en ( 6.5). Es suficiente demostrar que, para cada bola $ B=B(x_1,r),$ existe una constante $ c_B$ tal que

(6.6) $\displaystyle \int_B\left\vert\overline{K_{\alpha}}(f)(x)-c_B\right\vert \,{\rm d}\mu\leq C\vert\vert f\vert\vert _{L^{n/\alpha}(\mu)}\mu(2B).$

Tomemos $ c_B$ dada por

$\displaystyle \int_{\mathbb{X}}\left\{\chi_{\mathbb{X}\setminus B(x_1,2r)}(y)k... ...mathbb{X}\setminus B(x_0,1)}(y)k_{\alpha}(x_0,y)\right\}f(y)\,{\rm d}\mu(y). $

Claramente $ \left\vert\overline{K_{\alpha}}(f)(x)-c_B\right\vert $ está dominado por:

$\displaystyle \int_{\mathbb{X}} \left\vert k_{\alpha}(x,y)-\chi_{\mathbb{X}\set... ...1,2r)}k_{\alpha}(x_1,y)\right\vert \vert f(y)\vert\,{\rm d}\mu(y)= I(x)+II(x) $

donde $ I(x)$ es la integral sobre $ 2B$ y $ II(x)$ es la integral sobre el complemento de $ 2B.$ Estimamos a continuación las integrales sobre $ B$ de $ I(x)$ y $ II(x).$
  $\displaystyle \int_BI(x)\,{\rm d}\mu(x)\leq\int_B\int_{\mathbb{X}}\vert k_{\alpha}(x,y)\vert\chi_{2B}(y)\vert f(y)\vert\,{\rm d}\mu(y)\,{\rm d}\mu(x)$    
  $\displaystyle \leq \int_B\left\vert I_{\alpha}(\chi_{2B}\vert f\vert)\right\vert \,{\rm d}\mu(x)\leq C\vert\vert f\vert\vert _{L^{n/\alpha}(\mu)}\mu(2B),$    

donde la última desigualdad es consecuencia del Lema 6.2. Para estimar la integral de $ II(x)$ sobre $ B$ observamos primero que, puesto que $ x\in B$ e $ y\in \mathbb{X}\setminus 2B,$ usando (4.2) obtenemos

$\displaystyle II(x)\leq\int_{\mathbb{X}\setminus 2B}\frac{d(x,x_1)^{\varepsilon }}{d(x_1,y)^{n-\alpha+\varepsilon }}\vert f(y)\vert\,{\rm d}\mu(y) $

y, por la desigualdad de Hölder y el Lema 2.2 vemos que $ II(x)\leq C\vert\vert f\vert\vert _{L^{n/\alpha}(\mu)}.$ Por tanto, la integral de $ II(x)$ sobre $ B$ también está acotada por $ C\vert\vert f\vert\vert _{L^{n/\alpha}(\mu)}\mu(2B).$ Ahora vamos a establecer ( 6.2). Sean $ B\subset V$ bolas, $ B$ con radio $ r$ y $ V$ con radio $ s.$ Veremos que
  $\displaystyle \frac{1}{\mu(B)}\; \frac{1}{\mu(V)}\int_B\int_V\left\vert\overlin... ...alpha}}f(x)-\overline{K_{\alpha}}f(y)\right\vert \,{\rm d}\mu(x)\,{\rm d}\mu(y)$    
(6.7) $\displaystyle \leq C K_{B,V}\left\Vert f\right\Vert _{L^{n/\alpha}(\mu)}\left(\frac{\mu(\rho B)}{\mu(B)}+\frac{\mu(\rho V)}{\mu(V)}\right).$    

Observamos que el primer miembro de ( 6.7) domina a

$\displaystyle \left\vert m_B(\overline{K_{\alpha}}f)-m_V(\overline{K_{\alpha}}f)\right\vert , $

de modo que se obtiene ( 6.2) para $ \overline{K_{\alpha}}(f).$ Sea $ 2^{N_{B,V}+3}B={\widetilde V}$ para la que sabemos por el Lema 6.3, que $ 4V\subset \widetilde{V}\subset \rho V.$ Para casi todos $ x$ e $ y,$ podemos escribir

$\displaystyle \overline{K_{\alpha}}(f)(x)-\overline{K_{\alpha}}(f)(y)= \int_{\mathbb{X}}\left(k_{\alpha}(x,z)-k_{\alpha}(y,z)\right)f(z)\,{\rm d}\mu(z) $

Entonces
      $\displaystyle \left\vert\overline{K_{\alpha}}(f)(x)-\overline{K_{\alpha}}(f)(y)\right\vert$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle I_{\alpha}(\vert f\vert\chi_{4B})(x)+I_{\alpha}(\vert f\vert\chi_{\widetilde{V}\setminus 4B})(x)+I_{\alpha}(\vert f\vert\chi_{\widetilde{V}})(y)$
    $\displaystyle +$ $\displaystyle \int_{\mathbb{X}\setminus\widetilde V}\left\vert k_{\alpha}(x,z)-k_{\alpha}(y,z)\right\vert \vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z).$

Denotemos por $ I, II, III$ y $ IV$ los cuatro términos del segundo miembro de la última desigualdad. Estimamos separadamente la media doble de cada uno de estos cuatro términos. El primero y el tercero se tratan mediante el Lema 6.2 .
      $\displaystyle \frac{1}{\mu(B)}\frac{1}{\mu(V)}\int_B\int_V I\,{\rm d}\mu(y)\,{\rm d}\mu(x)$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\mu(B)}\int_B I_{\alpha}(\vert f\vert\chi_{4B})(x)\,{\rm d}\mu(x)\leq C\left\Vert f\right\Vert _{n/\alpha}\frac{\mu(4B)}{\mu(B)}$

y, del mismo modo
      $\displaystyle \frac{1}{\mu(B)}\frac{1}{\mu(V)}\int_B\int_V III\,{\rm d}\mu(y)\,{\rm d}\mu(x)$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\mu(V)}\int_V I_{\alpha}(\vert f\vert\chi_{\widetilde V ... ...rm d}\mu(y)\leq C\left\Vert f\right\Vert _{n/\alpha}\frac{\mu(\rho V)}{\mu(V)}.$

Para tratar $ II$ utilizamos la desigualdad de Hölder, obteniendo
  $\displaystyle II$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{\widetilde{V}\setminus 4B} \frac{1}{d(x,z)^{n-\alpha}}\vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z)$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\int_{\widetilde{V}\setminus 4B} \frac{\,{\rm d}\mu(z)}{d(x... ...Vert f\right\Vert _{n/\alpha}\leq C K_{B,V}\left\Vert f\right\Vert _{n/\alpha},$

pues

$\displaystyle \int_{\widetilde{V}\setminus 4B} \frac{\,{\rm d}\mu(z)}{d(x,z)^n}... ..._{2^{k+2}B\setminus 2^{k+1}B}\frac{\,{\rm d}\mu(z)}{d(x,z)^n}\leq C K_{B,V}. $

Finalmente, utilizando ( 4.2)
      $\displaystyle IV \leq C d(x,y)^{\varepsilon }\int_{\mathbb{X}\setminus 4V}\frac{1}{d(x,z)^{n-\alpha+\varepsilon }}\vert f(z)\vert\,{\rm d}\mu(z)$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C d(x,y)^{\varepsilon } \left\Vert f\right\Vert _{L^{n/\alpha}(\m... ... d}\mu(z)}{d(x,z)^{(n-\alpha+\varepsilon )n/(n-\alpha)}}\right)^{(n-\alpha)/n}.$

Puesto que $ (n-\alpha+\varepsilon )\frac{n}{n-\alpha}=n+\frac{\varepsilon n}{n-\alpha},$ aplicando el Lema 2.2, obtenemos

$\displaystyle IV\leq Cs^{\varepsilon }\left\Vert f\right\Vert _{L^{n/\alpha}(\m... ...\alpha)}\right)^{(n-\alpha)/n}=C \left\Vert f\right\Vert _{L^{n/\alpha}(\mu)} $

lo que completa la demostración. next up previous
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