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Espacios de Lipschitz `` grandes '' asociados a $ \mu$

Los espacios de Lipschitz que hemos considerado hasta ahora, sólo dependen de la métrica, y no de la medida. Es un hecho notable que basten dichos espacios para contener las imágenes por los operadores fraccionarios de las funciones de $ L^p(\mu)$ para $ p>n/\alpha$ (Teorema 5.2). En particular el Teorema 5.2 implica que si $ \alpha<\varepsilon ,$ entonces $ \widetilde{K_{\alpha}}$ es acotado de $ L^{\infty}(\mu)$ en $ {\mathcal Lip}(\alpha).$ Tiene sentido preguntarse por la imagen del espacio mayor $ {R\!B\!M\!O}.$ Esta pregunta nos lleva a introducir los espacios de Lipschitz `` grandes''. El contexto es aquí, de nuevo, $ \mathbb{R}^d$ con una medida $ \mu$ $ n-$dimensional.

Definición 7.1   Para $ \alpha\in ]0,1[,$ llamaremos $ {\mathcal L}_{\alpha}(\mu)$ al espacio de las clases de equivalencia módulo constantes de funciones localmente integrables con respecto a $ \mu,$ que satisfacen la condición siguiente: Para cada par de bolas $ B\subset V,$ si llamamos $ s$ al radio de $ V,$ se tiene, con una constante fija $ \rho>1$
(7.1)     $\displaystyle \frac 1{\mu(B)}\frac 1{\mu(V)} \int_B\int_V \vert f(x)-f(y)\vert\,{\rm d} \mu(x)\,{\rm d}\mu(y)$
      $\displaystyle \leq C K_{B,V}s^{\alpha}\left(\frac{\mu(\rho B)}{\mu(B)}+\frac{\mu(\rho V)}{\mu(V)}\right)$

$ {\mathcal L}_{\alpha}(\mu)$ es un espacio de Banach con la norma dada por la menor constante $ C$ que hace cierta la desigualdad de más arriba. Nótese que la condición de la última definición equivale a pedir juntas las dos propiedades siguientes:

(7.2) $\displaystyle \int_B\vert f-m_B(f)\vert\,{\rm d}\mu\leq C \mu(\rho B)r^{\alpha}$

para toda bola $ B$ de radio $ r$ y

(7.3) $\displaystyle \left\vert m_B(f)-m_V(f)\right\vert \leq C K_{B,V} s^{\alpha}\left(\frac{\mu(\rho B)}{\mu(B)}+\frac{\mu(\rho V)}{\mu(V)}\right)$

para todo par de bolas $ B\subset V,$ llamando $ s$ al radio de $ V.$ En estas dos condiciones $ \rho$ es una constante fija tal que $ \rho>1.$ Se demuestra, tal como hace Tolsa para $ {R\!B\!M\!O},$ que el espacio obtenido no depende de $ \rho.$

Teorema 7.2   Sea $ k_{\alpha}$ un núcleo fraccionario con regularidad $ \varepsilon ,$ y sea $ 0<\alpha<\varepsilon .$ Entonces $ \widetilde{K_{\alpha}}$ es un operador acotado de $ {R\!B\!M\!O}(\mu)$ en $ {\mathcal L}_{\alpha}(\mu)$ si y sólo si $ \widetilde{K_{\alpha}}(1)=0.$

Demostración. La necesidad y el hecho de que

$\displaystyle \widetilde{K_{\alpha}}(1)=0\Leftrightarrow \int_{\mathbb{X}}\left\{k_{\alpha}(x,z) -k_{\alpha}(y,z) \right\}\,{\rm d}\mu(z)=0, $

son exactamente como en la demostración del teorema 5.3. De hecho, en cierto sentido el teorema que vamos a demostrar ahora es la versión $ \beta=0$ del teorema 5.3 . Para probar la suficiencia, suponemos $ \widetilde{K_{\alpha}}(1)=0$ y tomamos $ f\in {R\!B\!M\!O}.$ Sabemos que para $ f$ existe una colección de números $ \{f_U\}_U,$ donde $ U$ son las bolas centradas en puntos del soporte de la medida, tales que

$\displaystyle \sup_U\frac 1{\mu(\rho U)}\int_U\vert f(x)-f_U\vert\,{\rm d}\mu(x)\leq C\left\Vert f\right\Vert _{\star} $

y, además

$\displaystyle \vert f_U-f_W\vert\leq C K_{U,W}\left\Vert f\right\Vert _{\star} $

para cada par de bolas $ U\subset W.$ Esta es la caracterización de $ {R\!B\!M\!O}$ con la que Tolsa obtiene la desigualdad de John-Nirenberg. Sean dos bolas $ B\subset V$ de radios respectivos $ r$ y $ s.$ Escribimos, para $ x\in B$ e $ y\in V$

\begin{multline} \widetilde{K_{\alpha}}f(x)-\widetilde{K_{\alpha}}f(y) \\ =... ...)-k_{\alpha}(y,z)\right)\left(f(z)-f_{4B}\right)\,{\rm d}\mu(z). \end{multline}

Nuestro propósito es demostrar ( 7.1). A partir de (7.4) obtenemos

\begin{multline*} \left\vert\widetilde{K_{\alpha}}f(x)-\widetilde{K_{\alpha}}f... ...{\alpha}(y,z)\right\vert \vert f(z)-f_{4B}\vert\,{\rm d}\mu(z). \end{multline*}

Ahora estudiamos la aportación de cada uno de los cuatro términos del segundo miembro a la media doble. Para el primer término tenemos, eligiendo un $ p\in]1,n/\alpha[$ y el correspondiente $ q$ tal que $ 1/q=1/p-\alpha/n,$ de forma que podamos aplicar el teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev

\begin{multline*} \int_BI_{\alpha}\left(\vert f-f_{4B}\vert\chi_{4B}\right)(x)... ...n}\leq C \left\Vert f\right\Vert _{\star}\mu(\rho B)r^{\alpha} \end{multline*}

donde hemos usado la desigualdad de John-Niremberg probada por Tolsa para $ {R\!B\!M\!O}$ y el hecho de que $ 1/p+1/q'=1/q+\alpha/n+1/q'=1+\alpha/n.$ Hemos obtenido

$\displaystyle \frac 1{\mu(B)}\int_B I_{\alpha} \left(\vert f-f_{4B}\vert\chi_{... ...x)\leq C\left\Vert f\right\Vert _{\star}r^{\alpha}\frac{\mu(\rho B)}{\mu(B)} $

que sirve para nuestros propósitos. El tratamiento del tercer término es muy parecido. Lo vemos a continuación.
      $\displaystyle \int_VI_{\alpha}\left(\vert f-f_{4B}\vert\chi_{\widetilde{V}}\right)(y)\,{\rm d}\mu(y)$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\int_V I_{\alpha} \left(\vert f-f_{4B}\vert\chi_{\widetilde{V}}\right)(y)^q\,{\rm d}\mu(y)\right)^{1/q}\mu(V)^{1/q'}$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C\left(\int_{\widetilde{V}}\vert f-f_{4B}\vert^p\,{\rm d}\mu\right)^{1/p}\mu(V)^{1/q'}$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C\left\{\left(\int_{\widetilde{V}}\vert f-f_{\widetilde{V}}\vert^... ...vert f_{\widetilde{V}}-f_{4B}\vert\mu(\widetilde{V})^{1/p}\right\}\mu(V)^{1/q'}$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle CK_{B,V}\left\Vert f\right\Vert _{\star}\mu(\rho V)^{1/p+1/q'}\leq CK_{B,V}\left\Vert f\right\Vert _{\star}\mu(\rho V)s^{\alpha}.$

Esto nos da

$\displaystyle \frac 1{\mu(V)}\int_VI_{\alpha}\left(\vert f-f_{4B}\vert\chi_{\w... ...CK_{B,V}\left\Vert f\right\Vert _{\star}\frac{\mu(\rho V)}{\mu(V)}s^{\alpha}, $

también en línea con lo que buscamos. El segundo término es un tanto especial. Veamos cómo podemos acotarlo.
      $\displaystyle I_{\alpha}\left(\vert f-f_{4B}\vert\chi_{\widetilde{V}\setminus{4... ...V}\setminus{4B}}\frac{\vert f(z)-f_{4B}\vert}{d(x,z)^{n-\alpha}}\,{\rm d}\mu(z)$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\int_{\widetilde{V}\setminus{4B}}\frac{\,{\rm d}\mu(z)}{d(x... ...setminus{4B}}\vert f(z)-f_{4B}\vert^{n/\alpha}\,{\rm d}\mu(z)\right)^{\alpha/n}$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C K_{B,V}^{\frac{n-\alpha}{n}}\left\{\left(\int_{\widetilde{V}} \... ...a/n}+\vert f_{\widetilde{V}}-f_{4B}\vert \mu(\widetilde{V})^{\alpha/n} \right\}$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C K_{B,V}^{2-\frac{\alpha}{n}}\mu(\rho V)^{\alpha/n}\left\Vert f\... ...\leq C K_{B,V}^{2-\frac{\alpha}{n}} s^{\alpha}\left\Vert f\right\Vert _{\star}.$

Esta estimación no es exactamente la que queremos, debido a la presencia del exponente $ 2-\frac{\alpha}{n}>1.$ Posponemos, por el momento la discusión de cómo solucionar este inconveniente y pasamos a estudiar el cuarto término.

\begin{multline*} \int_{\mathbb{R}^d\setminus \widetilde{V}}\left\vert k_{\al... ..._{4B}\right\vert d(x,y)^{\varepsilon }Cs^{\alpha-\varepsilon }, \end{multline*}

donde hemos usado el lema 2 para obtener el segundo sumando. Dicho sumando está dominado por $ CK_{B,V}\vert\vert f\vert\vert _{\star}s^{\alpha},$ que es lo que queremos. Sólo tenemos que ocuparnos del primer sumando. Lo acotamos por

\begin{multline*} Cd(x,y)^{\varepsilon }\\ \times\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\i... ...^ks)^{n-\alpha+\varepsilon }}\mu(2^{k+1}\widetilde{V})\right\}, \end{multline*}

que a su vez está dominado por
      $\displaystyle Cd(x,y)^{\varepsilon }\left\Vert f\right\Vert _{\star}\left\{\sum... ...fty}k \frac{\mu(2^{k+1} \widetilde{V})}{(2^ks)^{n-\alpha+\varepsilon }}\right\}$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle Cd(x,y)^{\varepsilon }\left\Vert f\right\Vert _{\star}\left\{\sum... ...^{\alpha-\varepsilon }\right\}\leq C\left\Vert f\right\Vert _{\star}s^{\alpha}.$

En resumen, hemos sido capaces de demostrar que
      $\displaystyle \frac 1{\mu(B)}\frac 1{\mu(V)} \int_B\int_V \left\vert\widetilde{... ...lpha}}f(x)-\widetilde{K_{\alpha}}f(y)\right\vert \,{\rm d}\mu(x)\,{\rm d}\mu(y)$
    $\displaystyle \leq$ $\displaystyle CK_{B,V}^{2-\alpha/n}\left\Vert f\right\Vert _{\star}s^{\alpha}\left(\frac{\mu(\rho B)}{\mu(B)}+\frac{\mu(\rho V)}{\mu(V)}\right)$

La pregunta es ahora cómo obtener la estimación que buscamos, en la que $ K_{B,V}$ aparece con exponente 1.

Lo primero es observar que en la definición de $ \mathcal{L}_{\alpha}(\mu)$ basta con tomar bolas `` doblantes''. Una bola $ B$ se dice que es $ (\gamma, \eta)-$doblante, para $ \gamma>1$ y $ \eta>\gamma^n$ si $ \mu(\gamma B)\leq \eta \mu(B).$ Es fácil ver, a partir de la condición ( 2.1), que para cualquier punto $ x$ y cualquier $ R>0,$ existe alguna bola $ (\gamma, \eta)-$doblante centrada en $ x$ con radio $ \geq R.$ Asimismo, dado $ \gamma>1,$ para $ \eta$ grande, dependiendo de $ \gamma$ y $ d,$ digamos $ \eta\geq \eta_d$ y para $ \mu-$casi todo $ x\in \mathbb{R}^d,$ existe una sucesión de bolas centradas en $ x$ con radios que tienden a $ 0.$ Para fijar ideas llamaremos `` doblante'' sin más a toda bola $ (2,\eta)-$doblante, con $ \eta=\eta_d.$ La suficiencia de la condición sobre bolas doblantes es un hecho fundamental que fue observado por Tolsa para $ {R\!B\!M\!O}.$ La demostración aquí es muy parecida. La segunda observación es el siguiente lema, adaptado del correspondiente de Tolsa.

Lema 7.3   Existe una constante $ P$ tal que si para un $ x\in \mathbb{R}^d$ y cada bola doblante $ U$ que contiene a $ x$ se tiene un número $ F_U$ de modo que $ \vert F_U-F_W\vert\leq C_xs^{\alpha}$ para cada par de bolas doblantes $ U\subset W$ con $ x\in U,$ tales que $ K_{U,W}\leq P,$ siendo $ s$ el radio de $ W,$ entonces $ \vert F_U-F_W\vert\leq CK_{U,W}C_xs^{\alpha}$ para cada par de bolas doblantes $ U\subset W$ con $ x\in U,$ siendo $ s$ el radio de $ W.$

Con estas dos observaciones, vemos que nuestra estimación es suficiente para probar el teorema.

Con las mismas técnicas se puede demostrar el siguiente resultado

Teorema 7.4   Sea $ k_{\alpha}$ un núcleo fraccionario con regularidad $ \varepsilon ,$ y sean $ \alpha, \beta>0$ tales que $ \alpha+\beta<\varepsilon .$ Entonces $ \widetilde{K_{\alpha}}$ es un operador acotado de $ {\mathcal L}_{\beta}(\mu)$ en $ {\mathcal L}_{\alpha+\beta}(\mu)$ si y sólo si $ \widetilde{K_{\alpha}}(1)=0.$

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