La función hipergeométrica de Gauss como función $A$-hipergeométrica

Dados $3$ parámetros complejos $a, b, c$ con $c \notin \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\leq 0}$ (o si $c \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\leq 0},$ entonces $a - c \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 1}),$ la función hipergeométrica de Gauss $F(a,b,c;x)$ se define para $\vert x\vert < 1$ como

$$F(a,b,c;x) =\sum_{n\geq 0} \frac{a (a +1) \dots (a+n -1) b (b+1)\dots (b+ n-1) } {c (c +1) \dots (c +n-1)} \, \frac {x^n} {n!} .$$

Por ejemplo, $F(a,b,b.x)=(1-x)^{-a}$, $-x F(1,1,2;x)= \log(1-x).$ Es fácil verificar que $F(a,b,c;x)$ satisface la ecuación diferencial lineal ordinaria

$$x (1-x) \, y''+ (c -(a+b+1)x) \, y'- a b \,y = 0,$$ (3.1)

y si llamamos $F(a,b,c;x) =\sum_{n\geq 0} A_n \, x^n$, el cociente $A_{n+1}/A_n$ es una función racional de $n$. La ecuación (3.1) tiene tres puntos singulares regulares en $0,1$ e $\infty$, y es, salvo normalización, la forma general de una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden con esta propiedad. Podemos reformular esta ecuación diferencial en $4$ variables. Dada una función univariada $F(x)$, llamemos

$$G(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1^{c-1} x_2^{-a} x_3^{-b} \, F( \frac {x_1 x_4} { x_2 x_3}).$$

Entonces, $G$ satisface las siguientes ecuaciones diferenciales lineales parciales, que son simplemente versiones infinitesimales de condiciones de homogeneidad:

$$\left\{ \begin{array}{clcl} (1) &(x_1 \partial_1 +x_2 \part... ...tial_3 + x_4 \partial_4 +b) (G) & = & 0 \end{array} \right.$$

Más aún, $F$ satisface la ecuación de Gauss ( 3.1) $\Leftrightarrow$ $G$ satisface la ecuación $(4) \,(\partial_1 \partial_4 - \partial_2 \partial_3) (G) = 0.$ La ecuación de Gauss es equivalente al sistema de ecuaciones lineales en derivadas parciales dado por las cuatro ecuaciones $(1), (2), (3), (4)$ anteriores. Este es el sistema $A$-hipergeométrico asociado a la matriz entera $3 \times 4$ cuyas columnas están dadas por los vectores $(1,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (1,1,1)$ y al vector $\beta = ( c-1-a-b, -a, -b).$