Los sistemas $A$-hipergeométricos y sus soluciones racionales

En general, dado un subconjunto $A=\{ a_1, \dots, a_n\} \subset \ensuremath{\mathbb{Z}}^d$, consideramos la matriz (con igual nombre) $A \in \ensuremath{\mathbb{Z}}^{(d+1) \times n}$ cuyas columnas son los vectores $(1,a_1), \dots, (1,a_n) \in \ensuremath{\mathbb{Z}}^{d+1}.$ Para cada vector $\beta = (\beta_0,\dots,\beta_d) \in \ensuremath{\mathbb{C}}^d$, el sistema $A$-hipergeométrico con parámetro $\beta$ es el ideal $H_A(\beta)$ en el álgebra de Weyl en $n$ variables generado por los operadores de Euler $\sum_{i=1}^n x_i \partial_i -\beta_0$, y $\sum_{i=1}^n a_{ij} x_i \partial_i -\beta_j$, para todo $j=1,\dots,d$ y por los siguientes operadores con coeficientes constantes de orden superior: para cada vector $v \in \ensuremath{\mathbb{Z}}^n$ tal que $A \cdot v =0$, escribamos $v = v_+ - v_- \, , \, v_+, v_- \in \ensuremath{\mathbb{N}}_0^n$ y consideremos el operador $\frac {\partial^{\vert v_+\vert}} {\partial v_+}\, - \, \frac {\partial^{\vert v_-\vert}} {\partial v_-}$. Decimos que una función holomorfa definida en un abierto de $\ensuremath{\mathbb{C}}^n$ es $A$-hipergeométrica (con parámetro $\beta$) si es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales en $n$ variables definido por los operadores en $H_A(\beta)$. Este sistema es holónomo regular, y para vectores $\beta$ genéricos, su rango holonómico es el volumen normalizado de la cápsula convexa de $A$. El lugar singular del sistema coincide con los ceros del discriminante total $\{E_A =0\}$.

Ejemplo 3.1   Para el sistema equivalente al sistema de Gauss que definimos en la sección § 3.1, el lugar singular es la hipersuperficie definida por $\{ x_1 x_2 x_3 x_4 ( x_1 x_4 - x_2 x_3) \, = \, 0\}$, y el rango holonómico, es decir la dimensión del espacio de soluciones locales holomorfas en un punto fuera del lugar singular, es igual a $2$.

Un problema importante en este contexto es el estudio de la monodromía de las funciones $A$-hipergeométricas. Este es actualmente un problema abierto, del cual sólo hay respuestas cuando la dimensión del núcleo de $A$ es $1$, que se reduce al caso clásico de una variable, y para ciertos casos particulares en dos variables. En particular, un problema es caracterizar las funciones $A$-hipergeométrias invariantes por la monodromía, es decir, estudiar las soluciones racionales de $H_A(\beta)$ para $\beta$ necesariamente entero (y resonante). Dado que el lugar singular está descripto por los ceros del discriminante total y en vista de la factorización ( 2.1), una función $A$-hipergeométrica racional tiene como denominador un producto de ciertas potencias de $\Delta_A$ y de los discriminantes de subconfiguraciones faciales de $A$. Tenemos el siguiente resultado [4]:

Teorema 3.2   Para configuraciones generales, el discriminante $\Delta_A$ aparece en el denominador de una función $A$-hipergeométrica racional (para algún parámetro entero $\beta$) $\Leftrightarrow$ $A$ es la configuración de Cayley asociada a una familia esencial $A_0, \dots, A_n$. Por lo tanto, un $A$-discriminante aparece en el denominador de una función $A$-hipergeométrica racional si y sólo si el discriminante es de hecho una resultante ${\rm Res}_{(A_0,\dots,A_n)}$. Más aún, todas las soluciones racionales que no son polinomios de Laurent, se expresan en términos de residuos.

Por ejemplo, si consideramos el sistema $A$-hipergeométrico asociado al polinomio univariado genérico de grado dos, es decir al subconjunto $A=\{ 0,1,2\}$ del ejemplo 1.1, la función $(x_2^2 - 4 x_1x_3)^{-1/2}$ es $A$-hipergeométrica (con parámetro $(-1, -1)$), pero no existe ninguna solución racional con polos en la variedad discriminantal $\{\Delta_A=0\}$. No hemos definido en esta breve exposición la noción de configuración general que aparece en el enunciado del Teorema 3.2, pero tiene un significado muy preciso y alude a una propiedad que se verifica genéricamente. El resultado es también cierto para todas las configuraciones de dimensión uno, dos o tres, o de codimensión uno, y para las configuraciones de Lawrence [3,4,5]. La conjetura es que el teorema vale para cualquier configuración $A$, y demostrarla completamente es actualmente un problema abierto cuya solución implicaría resolver sutiles problemas de clasificación geométrica y problemas diofánticos.

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