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Introducción

Supongamos que $ \mu$ es una medida de Borel en el espacio métrico $ (\mathbb{X}, d),$ a la que sólo le pedimos que sea finita sobre bolas y que no tenga átomos. Estamos interesados en las propiedades de acotación del operador integral

$\displaystyle J_{\beta}f(x)=\int_{\mathbb{X}}\frac{f(y)}{d(x,y)^{\beta}}\,{\rm d}\mu(y), \; \beta>0. $

Supongamos que sabemos que este operador está acotado de $ L^p(\mu)$ en $ L^q(\mu)$ para unos ciertos $ p,q\in [1,\infty].$ Sea $ B$ una bola abierta de radio $ r.$ Entonces, para cada $ x\in B$ tenemos la estimación

$\displaystyle J_{\beta}\chi_B(x)\geq \int_B\frac{\,{\rm d}\mu(y)}{d(x,y)^{\beta}} \geq \frac{\mu(B)}{(2r)^{\beta}}. $

Si esta estimación la combinamos con la acotación $ L^p\rightarrow L^q$ que estamos suponiendo, resulta que

$\displaystyle \frac{1}{(2r)^{\beta}}\mu(B)^{1+\frac{1}{q}}\leq\left\Vert J_{\beta}\chi_B\right\Vert _q\leq C\left\Vert\chi_B\right\Vert _p= C\mu(B)^{1/p}. $

Esto sólo puede suceder para $ 1+1/q-1/p>0,$ en cuyo caso obtenemos

$\displaystyle \mu(B)\leq C r^n,\; \hbox{donde}\; n=\frac{\beta}{1+\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}>0. $

Esta es la condición fundamental que les pediremos a las medidas, lo que permitirá, en particular, que no sean doblantes. Así llegamos a la noción de espacio `` no homogéneo'', introducida por Nazarov, Treil y Volberg en [NTV1] y que definimos en la sección siguiente. Para que el núcleo de $ J_{\beta}$ resulte localmente integrable con respecto a $ \mu,$ pediremos que $ \beta<n$ y pondremos $ \beta=n-\alpha,\; \alpha>0.$ Así tendremos que